|
Короче говоря, в более-менее общем виде мне доказательства придумать не удалось. Элементарное доказательство за неименеием другого все-таки приведу:
Рассмотрим многочлен x^4+x^3+x^2+x+1. Попробуем факторизовать его в форме (x^2+a*x+1)^2 - b*x(x+1)^2. Приводя коэффициенты прийдем к системе уравнений:
2a-b=1
2+a^2-2b=1
Решений две пары a=1, b=1 и a=3, b=5. Первая пара не подходит т.к. мы стремимся факторизовать исходный многочлен так, чтобы не возникло радикалов. Тогда при a=3, b=5 получим:
x^4+x^3+x^2+x+1 = ((x^2+3x+1) - sqrt(5x)(x+1))((x^2+3x+1) + sqrt(5x)(x+1)). Вспоминая, что x=5^25, заключим, что sqrt(5x)=5^13. Таким образом, оба сомножителя в факторизации явно целые. К тому же они явно больше, чем 1 и меньше, чем исходное число.
Я очень хочу верить, что у этой задачи есть более приличное решение, чем это.
|
