Димыч

Отлично. Слева - последний (пятый), справа - первый. Условимся "К"=1, "С"=0. Последний гном вычисляет чётность суммы стоящих перед ним: 1+0+1+0=2 - чётно (фактически - определяет чётность суммы красных шляп стоящих перед ним гномов). Он говорит "Синий!". Он выживает - в этот раз ему повезло.
Следующий за ним гном (четвертый) считает чётность стоящих перед ним: 0+1+0=1 НЕчётно! И он слышал, что до него была сумма чётной (т.к. последний гном сказал "синий"). Значит именно он изменяет сумму с чётной на нечётную. А это значит, что у него красная шапка. Он говорит "красная" и гарантированно остается в живых.
Третий гном видит, что перед ним нечётная сумма: 1+0=1. Он слышал, что первые четверо гномов дают чётную сумму, а четвертый гном был красным, значит первые трое гномов будут давать нечётную сумму. Значит его шляпа не изменяет чётность, значит у него синяя шляпа.
Второй гном видит, что перед ним нечетная сумма: 0. Он слышал, что первые четверо гномов давали чётную сумму, при этом четвёртый гном был красным, а третий - синим. Значит первые два гнома должны давать нечётную сумму. Значит его шляпа меняет чётность - значит у него красная шляпа. Он тоже гарантированно выживает.
Первый гном слышал, что первые четыре гнома дают чётную сумму, при этом он уже слышал, что в этой сумме есть две красных и одна синяя. Две красных и одна синяя шляпы не меняют чётность, поэтому у него должна быть шляпа тоже не меняющая чётность - синяя.

Вроде всё просто