Цитата:
|
Сообщение от alexer
"Непростоту" числа (5^125-1)/(5^25-1) довольно просто показать. Правда, как это сделать, не выходя за рамки школьной программы, мне неясно. Действительно, как и выше обозначим x=5^25. Тогда исходное число можно переписать в виде (x^5-1)/(x-1)=x^4+x^3+x^2+x+1 (что, кстати, доказывает, что число целое: в таких задачах еще и это обычно требуется показать). Предположим, что число это — простое. Тогда кольцо классов вычетов с основанием по этому числу является полем. Выберем число 5 из мультипликативной группы этого поля. Тогда 5^(x^4+x^3+x^2+x)-1 делится на x^4+x^3+x^2+x (причем x^4+x^3+x^2+x — это наименьшее число, при котором такое отношение делимости возникает). Легко видеть, что 5^(x^4+x^3+x^2+x)-1 оканчивается в десятичной записи на 4 и значит не делится на 5. Однако же его делитель x^4+x^3+x^2+x на 5, очевидно, делится и значит число 5^(x^4+x^3+x^2+x)-1 должно также делиться на 5. Полученное противоречие означает, что исходное предположение было неверным и число (5^125-1)/(5^25-1) не является простым.
Если честно, это сложная задача для школьников.
|
При чём тут мультипликативная группа и кольцо классов вычетов? Может ещё о пространствах Соболева и абелевах группах поговорим? Зачем здесь весь это аппарат, если речь идёт об обыкновенных полиномах с обычными операциями умножения-деления над полем комплексных (вообще говоря) чисел? Вы когда тумбочку из "Икеи" везёте трейлер вызываете?
Ещё раз. Я утверждаю, что полином 4го порядка x^4+x^3+x^2+x+1 не имеет действительных (и, тем более, целых корней. С этим спорить будем?
Далее, пусть n - не простое. Значит найдутся такие натуральные a и b, что n = a*b. Далее, обозначим c = 2^25-a=x-a целое число. Тогда, n = (x-с)*b. Но тогда полином x^4+x^3+x^2+x+1 делится на (x-с) нацело, ибо, коль скоро мы делим на полином первой степени, то остаток от деления есть просто некое число. Это значит, что b = p(x) + b_0, где p(x) - полином степени не выше 3, а b_0 - тот самый остаток, являющийся постоянной. А это значит, что n = (x-с)*(p(x) + b_0). Очевидно, что b_0 должно быть действительным, а тогда это, извините, противоречит тому, что полином x^4+x^3+x^2+x+1 неприводим над полем действительных чисел. Ну и что у меня неправильно? |
